CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Introduzindo Funções Logarítmicas como Funções Inversas

Toda função exponencial da forma é uma função um-a-um e tem uma inversa chamada função logarítmica. Uma função logarítmica para x > 0 e a sendo uma constante diferente de 1 é definida como se e somente se . y neste caso é o logarítimo, a é a base e o x é o argumento. A definição de um logaritmo indica que o logarítmo é um expoente.

Considere o gráfico da função exponencial .

> plot(2^x,x=-5..5,y=0..20);

A inversa dessa função exponencial é a função logarítmica . Examine o gráfico contendo ambas as funções exponencial e logarítmica.

em amarelo, em verde e em vermelho:

> plot({log[2](x),2^x,x},x=-4..8,y=-10..15);

Desde que a inversa de uma função seja determinada pela permuta de variáveis na função e solucionando-a para a variável dependente o gráfico de uma função logarítmica é o reflexo do gráfico da função exponencial através da linha . O domínio e a extensão são trocados de acordo.

Examine o gráfico acima e determine o seguinte .

a) Qual é domínio na notação intervalo?

R: (0 , )

b) Qual é a extensão na notação intervalo?

R: (- , )

c) Qual é o x interceptado.

R: (1 , 0)

d) Para qual eixo o gráfico é assimptótico?

R: Eixo do y .

e) é uma função crescente ou decrescente?

R: Função crescente

Examine o gráfico de uma função logarítmica onde 0 < a < 1.

> plot(log[1/2](x),x=0..8,y=-4..4);

Baseado no gráfico de , determine o seguinte.

a) Qual o domínio na notação intervalo?

R: (0 , )

b) Qual é a extensão na notação intervalo?

R: (- , )

c) Qual é o x interceptado?

R: (1 , 0)

d) Para qual eixo o gráfico é assimptótico?

R: y eixo.

e) é uma função crescente ou decrescente?

R: Função decrescente

f) Quais similaridades você percebeu nos gráficos de e ?

R: Ambos têm um domínio de (0 , ), uma extensão de (- , ), x interceptado em (1 , 0) e uma assíntota do eixo y .

A inversa da função exponencial natural é denominada função logarítmica natural (neperiano).

Examine o gráfico da função logarítmica natural e determine o seguinte:

> plot(ln(x),x=0..3,y=-2..2);

a) Qual o domínio na notação intervalo?

R: (0 , )

b) Qual é a extensão na notação intervalo?

R: (- , )

c) Qual é o x interceptado?

R: (1 , 0)

d) Para qual eixo o gráfico é assimptótico?

R: Eixo de y.

e) é uma função crescente ou decrescente?

R: Função crescente

A notação sem base indicada é reservada para a função logarítmica comum, onde a base é 10.

Examine o gráfico da função logarítmica comum.

> plot(log(x),x=0..3,y=-1..1);

Quais similaridades você observa entre os gráficos da função logarítmica comum e da função logarítmica natural?

R: Ambos os gráficos têm um domínio de (0 , ), uma extensão de (- , ), x interceptado em (1 , 0), e uma assínptota do eixo-y.

Em geral, para todo número real positivo, , a função logarítmica tem as seguintes propriedades:

i) O domínio de f é o conjunto dos números reais positivos (0 , ).

ii) A extensão de f é o conjunto dos números reais (- , ).

iii) O x interceptado de f é (1 , 0).

iv) O gráfico de f é assimptótico para o eixo y .

v) f é uma função um-a-um.

vi) f é uma função crescente a > 1.

vii) f é uma função decrescente se 0 < a < 1.

Investigando Gráficos de Funções na Forma Logarítmica

Considere os gráficos das equações logarítmicas.

em vermelho em verde e em amarelo .

> plot({log[2](x),log[2](x-1),log[2](x+1)},x=0..6,y=-4..4);

Determine o domínio usando a notação intervalo de:

a)

R: (1 , )

b)

R: (-1 , )

Determine x interceptado para:

a)

R: (2 , 0)

b)

R: (0 , 0)

Considere os gráficos de um outro trio de equações logarítmicas.

em vermelho, em verde, em amarelo.

> plot({log(x),log(x-2),log(x+3)},x=-4..8,y=-2..2);

Descreva a locação dos gráficos de e nos termos de .

R: varia para a direita 2 unidades; varia para a esquerda 3 unidades.

Determine a extensão usando a notação intervalo de:

a)

R: (- , )

b)

R: (- , )

Determine o x interceptado.

a)

R: (3 , 0)

b)

R: (-2 , 0)

Qual conjetura pode ser feita sobre o gráfico de com respeito ao gráfico de ?

R: Se b>0, o gráfico de é o resultado da variação do gráfico de para a direita b unidades. Se b<0, o gráfico de é o resultado da variação do gráfico de para a esquerda b unidades.

Examine os gráficos das equações logarítmicas.

em verde, em amarelo, em vermelho.

> plot({log[1/2](x),log[1/2](x)+4,log[1/2](x)-1.5},x=-1..2,y=-4..10);

Descreva a locaçao dos gráficos de e nos termos de .

R: varia acima 4 unidades; varia abaixo 1.5 unidades.

Identifique os gráficos como crescentes ou decrescentes.

a)

R: Decrescente.

b)

R: Decrescente.

Qual conjetura pode ser feita sobre o gráfico de com respeito ao gráfico de ?

R: Se b > 0 , o gráfico de é o resultado da variaçao do gráfico de acima b unidades. Se b < 0 , o gráfico de é o resultado da variaçao do gráfico de abaixo b unidades.

Especifique a equação logarítmica da curva relatada em que tem sido transformada como segue e confirmada pelo gráfico.

a) Variam acima três unidades.

> plot(ln(x)+3,x=-1..5,y=-2..6);

b) Varia para a esquerda duas unidades.

> plot(ln(x+2),x=-2..3,y=-3..2);

c) Varia uma unidade abaixo.

> plot(ln(x)-1,x=0..5,y=-3..1);

Aprofundando seus Conhecimentos

Explique porque o eixo y é uma assímptota vertical do gráfico de .

R: Como o valor de x aproxima-se de 0, o valor da função aproxima-se quando a > 1 e aproxima-se de - quando 0 < a < 1.

Construa o gráfico do seguinte par de equações no mesmo gráfico e explique se os seus gráficos são os mesmos.

> plot({ln(exp(x)),x},x=-3..3,y=-3..3);

R: Os gráficos são idênticos desde que a definição seja = x .

Se a é um número real positivo e sua recíproca é b , discuta a relação entre os gráficos de e .

R: Os gráficos de e são reflexões através do eixo x .

Considere o domínio das funções abaixo e explique porque seus gráficos não são os mesmos.

R: O domínio de é (- , ) e o domínio de é (0, ).

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